原理、算法、系统、安全

离散数学研究的是离散对象及其关系，比如集合、逻辑、图、树、整数、关系、代数结构、自动机。计算机处理的正是离散对象：0 和 1、符号、指令、数据包、图结构、程序状态。所以离散数学是计算机科学的数学基础，几乎每门核心课都建立在它之上。

命题逻辑、谓词逻辑、推理规则、证明方法。
数字电路设计，与门、或门、非门就是布尔逻辑。
程序正确性验证，用前置条件、后置条件、循环不变式证明程序对不对。
形式验证，模型检测，硬件和协议验证。
人工智能知识表示，专家系统，逻辑推理。
数据库查询优化，SQL 的 WHERE 条件本质是逻辑表达式。
SAT 求解器，用于芯片验证、规划、调度。
编程语言类型系统，类型检查本质是逻辑推导。

集合、子集、并交补、笛卡尔积、关系、函数、等价关系、偏序。
数据库关系模型，表就是关系，SQL 基于关系代数。
软件建模，UML 类图、实体关系图。
类型论，程序语言里的类型可看作集合。
数据检索，集合运算、连接、投影、选择。
偏序用于任务调度、依赖分析、版本管理。

图、树、路径、连通性、匹配、网络流、着色、遍历。
数据结构，二叉树、堆、图、邻接表、邻接矩阵。
算法，最短路 Dijkstra、最小生成树 Kruskal、拓扑排序、最大流。
网络路由，互联网、移动通信、低空通感组网。
社交网络分析，好友推荐、社区发现。
编译器，语法树、控制流图、数据流分析。
操作系统，资源分配图、死锁检测。
调度，任务依赖、项目管理、芯片布线。
地图导航，路径规划。
推荐系统，用户物品二分图。

排列组合、鸽巢原理、递推关系、生成函数、容斥原理。
算法复杂度分析，比较排序下界、递归树。
概率分析，随机算法、哈希冲突。
密码学，密钥空间大小、组合攻击。
编码理论，纠错码、压缩码。
资源分配，实验设计，排课，调度。
机器学习，组合优化，特征选择。

整除、同余、素数、模运算、欧几里得算法、中国剩余定理。
密码学，RSA、Diffie-Hellman、椭圆曲线密码。
哈希函数，模运算、素数选取。
随机数生成，伪随机序列。
校验码，CRC、ISBN、身份证校验。
编码理论，有限域、Reed-Solomon 码。
区块链，数字签名、哈希链。

群、环、域、布尔代数、格。
密码学，有限域上的运算，椭圆曲线群。
编码理论，伽罗瓦域，纠错码。
数字逻辑，布尔代数化简电路。
编译器，代数优化，强度削弱。
量子计算，希尔伯特空间、酉群。
自动机，半群、幺半群。

0 和 1、逻辑门、卡诺图、组合电路、时序电路。

计算机硬件基础，CPU、内存、总线。
加法器、乘法器、寄存器、计数器。
可编程逻辑器件，FPGA。
集成电路设计，逻辑综合。

递推、生成函数、离散概率、期望、方差、马尔可夫链。
算法分析，分治、动态规划。
随机算法，快速排序、哈希、随机游走。
机器学习，概率图模型、贝叶斯网络。
网络分析，排队论、流量模型。
信息安全，概率加密、安全归约。

有限自动机、正则表达式、上下文无关文法、图灵机。
编译原理，词法分析用 DFA，语法分析用 CFG。
文本处理，正则表达式、grep、编辑器。
协议验证，通信状态机。
编程语言设计，语法定义。
模式匹配，DNA 序列、日志分析。
自然语言处理，形式文法。

图灵机、可判定性、NP 完全、归约。
算法设计，判断问题难易。
优化问题，旅行商、背包、调度。
人工智能规划，搜索空间。
密码安全，单向函数、困难问题。
软件工程，不可判定问题，比如停机问题。

关系、元组、函数依赖、范式、查询优化。
关系数据库，MySQL、Oracle、PostgreSQL。
SQL 查询，选择、投影、连接、并交差。
范式设计，减少冗余，避免异常。
事务管理，并发控制。

逻辑推理、图搜索、组合优化、概率图模型、知识图谱。

搜索算法，A*、BFS、DFS。
约束满足，数独、排课、规划。
知识图谱，实体关系图。
图神经网络，社交、分子、推荐。
强化学习，马尔可夫决策过程。
自然语言处理，形式语言、自动机。

偏序、死锁、资源分配图、Petri 网、调度。
进程调度，优先级、时间片。
死锁检测，资源分配图。
并发控制，偏序关系、线性化。
内存管理，页表、位图。

图论、编码、排队、状态机、密码。
路由算法，最短路径、链路状态。
差错控制，CRC、海明码。
协议状态机，TCP、5G 空口。
网络安全，加密、认证、签名。
低空经济，通感一体、组网、低时延调度。

类型系统、语义、验证、模型检测。
类型检查，函数类型、泛型。
程序验证，霍尔逻辑。
模型检测，有限状态系统。
编译器优化，数据流分析。
形式化方法，安全关键系统。

离散数学给计算机提供四类能力：建模，把现实问题变成集合、图、逻辑、代数；证明，保证算法和系统正确；计算，分析复杂度、可计算性；安全，支撑密码、编码、协议。没有离散数学，就没有算法、数据结构、编译器、数据库、操作系统、网络、密码学、人工智能。它不直接教你写代码，但决定了能不能理解计算机为什么这样工作、算法为什么快、系统为什么可靠、安全为什么成立。

[证券通]李娜:A0330623100002

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